Abzählbar-primitive Ultrafilter II

Herrn Professor em. Dr. Hans-Joachim Kanold zum achtzigsten Geburtsta

Abzählbar-primitive Ultrafilter

Die Menge U aller Ultrafilter einer hier zunächst als abzählbar unendlich vorausgesetzten Grundmenge X kann in bekannter Weise mit einer Präordnung X mit [phi]v = u gibt. Hinsichtlich der zu dieser Präordnung gehörenden Äquivalenzrelation ~ gilt für zwei Ultrafilter u,v genau dann u~v, wenn es Abbildungen [phi],[psi] mit [phi]v = u und [psi]u = v gibt. Dies ist gleichwertig damit, daß [phi] auf einer Filtermenge V e v injektiv ist und daß bei dieser Einschränkung dann [psi] die Umkehrabbildung von [phi] ist. Alle gebundenen Ultrafilter, nämlich die von einpunktigen Mengen erzeugten Hauptfilter, sind äquivalent und minimal hinsichtlich der Präordnung. Obere Nachbarn von ihnen sind die bekannten primitiven Ultrafilter. Darüber hinaus ist die durch die Präordnung bestimmte Struktur von U jedoch äußerst kompliziert. Um übersichtlichere Verhältnisse zu gewinnen, ist es daher naheliegend, zunächst spezielle Teilmengen von U bezüglich der induzierten Präordnung zu untersuchen. Die vorliegende Arbeit stellt einen Anfang in dieser Richtung dar. Sie bezieht sich auf abzählbar-primitive Ultrafilter, die sich mit einem bekannten Prozeß aus abzählbar vielen primitiven Ultrafiltern aufbauen lassen. Ihre Ordnungsstruktur und im Zusammenhang damit ihr Abbildungsverhalten sowie die Bestimmung unterer und oberer Nachbarn sind der hauptsächliche Gegenstand dieses ersten Teils der Untersuchungen

Filterabbildungen : Herrn Professor Dr. Hans Robert Müller zum achtzigsten Geburtstag

Ultrafilter spielen zum Beispiel in der Analysis und in der Topologie, in der Algebra und in der Modelltheorie eine wichtige Rolle und stellen ein wirkungsvolles Konstruktionsmittel dar. Abgesehen von Trivialfällen, entzieht sich jedoch die Struktur von Ultrafiltern einer einfachen Beschreibung. Zwar kann man mit gegebenen Ultrafiltern neue Ultrafilter erzeugen, deren Aufbau komplizierter zu sein scheint; aber ein befriedigender Strukturvergleich bereitet erhebliche Schwierigkeiten. Ein naheliegendes Hilfsmittel hierzu sind Abbildungen, die Filter auf Filter abbilden und die mit den Operationen des Filterverbands in geeigneter Weise gekoppelt sind. Der Untersuchung derartiger Filterabbildungen dienen die folgenden Betrachtungen, die sich stets auf eine feste unendliche Grundmenge X beziehen. Ein erster Abschnitt dient der Zusammenstellung von Begriffen und Bezeichnungen. Die Filter von X bilden hinsichtlich der mengentheoretischen Inklusion einen vollständigen, distributiven Verband. Hier wird jedoch die duale Ordnung bevorzugt, weil bei ihr den Operationen des Filterverbands direkt die entsprechenden mengentheoretischen Operationen bei den Filtermengen entsprechen. Im zweiten Abschnitt werden die von Abbildungen X -> X induzierten Filterabbildungen betrachtet. Sie werden zur Definition von "einfachen" Ultrafiltern benutzt, die auf eine weitere Art gekennzeichnet werden und über die ein Existenzsatz bewiesen wird. Der dritte Abschnitt befaßt sich mit Booleschen Homomorphismen, nämlich mit Abbildungen des Potenzmengenverbandes von X in sich, die mit der Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung vertauschbar sind. Auch sie induzieren Filterabbildungen, deren Eigenschaften näher untersucht werden. Insbesondere ergibt sich ein Überblick über alle möglichen Booleschen Homomorphismen, und es wird ein von Punktabbildungen her bekannter Satz auf Boolesche Homomorphismen erweitert. Im letzten Abschnitt werden schließlich Filter der Menge aller Abbildungen X -> X herangezogen, die ihrerseits Filterabbildungen im Filterverband von X induzieren. Die Klasse dieser Filterabbildungen, für die ebenfalls Existenz- und Kennzeichnungssätze bewiesen werden, erweist sich als außerordentlich reichhaltig

Zum Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra ist zu einem wesentlichen Teil ein Satz der komplexen Analysis, der im allgemeinen auch mit funktionentheoretischen Mitteln bewiesen wird. Für seine reelle Fassung Jedes irreduzible Polynom aus R[t] besitzt höchstens den Grad Zwei. ist jedoch ein rein im Reellen verlaufender und möglichst elementarer Beweis wünschenswert. Ein diesen Forderungen entgegenkommender Beweis wird im dritten Abschnitt dieser Arbeit angegeben. Außer auf einfachste Grundlagen der reellen Analysis, die auf nur einen Teilbeweis konzentriert sind, stützt er sich auf einige einfache Sätze über spezielle lineare Abbildungen. Diese werden in den beiden ersten Abschnitten allgemein für Vektorräume über beliebigen kommutativen Skalarenkörpern bewiesen. Der Beweis des Fundamentalsatzes erfolgt dann im dritten Abschnitt für den reellen Fall. Er läßt sich jedoch mit wenigen naheliegenden Modifikationen direkt auf den komplexen Fall übertragen. In den beiden ersten Abschnitten bedeutet X immer einen Vektorraum über einem kommutativen Skalarenkörper K mit Dim X = n >= 1. Ferner ist [Phi]: X -> X stets eine lineare Abbildung. Unter dem charakteristischen Polynom von [Phi] wird das normierte Polynom f[Phi](t) = Det (t x id-[Phi]) verstanden, und Entsprechendes soll auch für das Minimalpolynom gelten

Zur Berechnung von Eigenwerten

Das bekannte Potenzverfahren zur Berechnung des Betrags von Eigenwerten quadratischer Matrizen versagt besonders dann, wenn verschiedene Eigenwerte annähernd gleichen Betrages auftreten. Diese Schwierigkeiten können durch Kopplung mit einem einfachen Algorithmus zur Berechnung von Minimalpolynomen weitgehend behoben werden. Die Anwendung auf Begleitmatrizen ergibt ein Verfahren, das automatisch alle Nullstellen eines gegebenen Polynoms liefert

Ganzzahlige Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten

Beim Aufsuchen von Beispielen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist man häufig an ganzzahligen Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten interessiert. In diesem Zusammenhang stellt sich daher die Frage nach der Häufigkeit derartiger Matrizen und nach Verfahren zu ihrer Konstruktion. Hier soll allerdings zunächst nur der einfachste Fall, nämlich der von 2X2-Matrizen untersucht werden, der bereits einen guten Einblick in die Problemstellung vermittelt. Zwei Wege bieten sich bei diesen Untersuchungen an: Einerseits kann man von ganzzahligen Eigenwerten und den zugehörigen Normalformen ausgehen und damit die Ähnlichkeitsklassen in den Vordergrund stellen. Oder man kann zweitens für ganzzahlige Matrizen Bedingungen aufstellen, die die Ganzzahligkeit der Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms sichern. Man gelangt so zu unterschiedlichen Darstellungsformen, die jeweils bestimmten Fragestellungen besser angepaßt sind. Eine Sonderstellung nehmen die symmetrischen Matrizen ein, weil bei ihnen von vornherein die Realität der Eigenwerte gesichert ist und weil ihre Ähnlichkeitsklassen sämtlich durch Diagonalmatrizen repräsentiert werden. Nachfolgend soll daher auch zunächst dieser Spezialfall untersucht werden. Generell sollen folgende Festsetzungen gelten: Unter einer Matrix wird stets eine 2X2-Matrix verstanden. Sie heißt genau dann ganzzahlig, wenn ihre vier Elemente ganze Zahlen sind. Zur Menge N der natürlichen Zahlen soll die Null nicht gehören. Die Teilerfremdheit ganzer Zahlen a,b wird, wie üblich, durch (a,b)=l gekennzeichnet. Diese Schreibweise soll automatisch beinhalten, daß a und b nicht beide Null sind und daß im Fall a=0 stets b=±1, im Fall b=0 entsprechend a=±1 gilt

Ultrafilter-Abbildungen

Bei Strukturuntersuchungen von Ultrafiltern einer Grundmenge X spielen Punktabbildungen [phi]: X -> X einerseits eine wesentliche Rolle, andererseits erweisen sie sich aber auch als zu wenig flexibel. Weit mehr Möglichkeiten bietet die Benutzung von Filterabbildungen, die die Menge aller Filter von X in sich abbilden. Die nachfolgenden Untersuchungen beziehen sich auf eine spezielle Klasse von Filterabbildungen, die sich durch naheliegende Eigenschaften kennzeichnen lassen und die der Anwendung auf Ultrafilter in geeigneter Weise angepaßt sind, weswegen sie als Ultrafilter-Abbildungen oder kurz als U-Abbildungen bezeichnet werden sollen. Hinsichtlich der Symbole und Bezeichnungen sei auf die Arbeiten "Filterabbildungen" und "Abzählbar primitive Ultrafilter I, II", Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft XLII, XLIII, XLIV verwiesen, die hier übernommen werden. Insbesondere sei darauf hingewiesen, daß für Filter a, b die Ordnungsrelation a =< b als zur mengentheoretischen Inklusion invers definiert ist, so daß der mit o bezeichnete Filter aller Teilmengen von X (einschließlich der leeren Menge) das Nullelement der geordneten Menge aller Filter ist. Entsprechend beziehen sich die Verbandsoperationen /\ und V auf diese Ordnungsrelation